考點二：期權價值的確定

【例題·計算題】D公司是一家上市公司，其股票于2019年7月1日的收盤價為每股40元。有一種以該股票為標的資產的看漲期權，執行價格為42元，到期時間是3個月。3個月以內公司不會派發股利，3個月以后股價有2種變動的可能：上升到46元或者下降到30元。國庫券利率為4%（年名義利率）。

【要求】

（1）利用風險中性原理，計算D公司股價的上行概率和下行概率，以及看漲期權的價值。

（2）利用套期保值原理，計算看漲期權的股價上行時到期日價值、套期保值比率。

（3）利用復制原理，計算借款數額和看漲期權的價格。

（4）根據第（3）問的計算結果，若有一種以該股票為標的資產的看跌期權，執行價格為42元，到期時間是3個月，計算看跌期權價格。

（5）根據（3）、（4）問的計算結果，若甲投資人購入1股D公司的股票，同時購入該股票的1份看跌期權，判斷甲投資人采取的是哪種投資策略，并根據預計的股票價格變動情況，確定該投資人的投資組合收益為多少？并確定投資人不至于虧損的股價變動范圍。

（6）根據（3）、（4）問的計算結果，投資者希望將凈損益限定在有限區間內，應選擇哪種投資組合？該投資組合應該如何構建?根據預計的股票價格變動情況，確定該投資人的投資組合收益為多少。并確定投資人不至于虧損的股價變動范圍。

（7）若目前看漲期權價格為3元，根據第（2）、（3）問的計算結果，請根據套利原理，構建一個套利組合進行套利。

（8）如果該看漲期權的現行價格為2.4元，根據第（2）、（3）問的計算結果，請根據套利原理，構建一個投資組合進行套利。

（9）如果該看漲期權的現行價格為2.4元，計算其多頭到期凈損益的兩種可能性。

【答案】

（1）上升百分比=（46-40）/40 =15%

下降變動率=（30-40）/40=-25%

期利率=4%/4=1%

1%=p×15%+（1-p）×（-25%）

上行概率p=0.65，下行概率（1-p）=0.35

C_u=46-42=4（元），Cd=0

看漲期權價值=（4×0.65）/（1+1%）=2.57（元）

（2）C_u=46-42=4（元），C_d=0

套期保值比率=（4-0）/（46-30）=0.25

（3）借款額=0.25×30/（1+1%）=7.43（元）

看漲期權價格=0.25×40-7.43=2.57（元）

（4）看跌期權價格=2.57+42/（1+1%）-40=4.15（元）

（5）甲投資人采取的是保護性看跌期權。

若股票價格下降到30元，投資凈損益=42-40-4.15=-2.15（元）

若股票價格上漲到46元，投資凈損益=46-40-4.15=1.85（元）。

股票價格為S_T，S_T-40-4.15＞0，所以股票價格高于44.15，投資人不會虧損。

（6）①選擇拋補看漲期權組合；

②拋補性看漲期權組合的構建方法是購買1股股票，并賣空1份以該股票為標的的看漲期權；

③若股票價格下降到30元，投資凈損益=30-40+2.57=-7.43（元）

若股票價格上漲到46元，投資凈損益=42-40+2.57=4.57（元）。

設股價降到S_T

S_T－40＋2.57＞0，S_T＞37.43

（7）由于目前看漲期權價格為3元高于2.57元，所以存在套利空間。套利組合應為：出售1份看漲期權，借入7.43元，買入0.25股股票，可套利0.43元。

（8）由于目前看漲期權價格為2.4元，低于2.57元，所以存在套利空間。套利組合應為：購買1股看漲期權，同時賣空0.25股股票，貸出7.43元，可套利0.17元。

（9）股票價格上漲到46元：

到期凈損益=（46-42）-2.4=1.6

股票價格下跌到30元時：

到期凈損益=-2.4。