年金的現值和終值公式推導
精選回答
年金終值公式推導
年金終值是指在一定的時間周期內每年定期投資一定金額后，計算出該周期結束后的投資總額。
假設每年支付的金額為PMT，年利率為r，投資期限為n年。第一年結束時，將收到PMT元錢，將其投資，可以得到PMT×(1+r)元錢。第二年結束時，將再次收到PMT元錢，將其投資，可以得到PMT×(1+r)n元錢。
因此，年金終值FV為：
FV=PMT×(1+r)(n-1)+...+PMT×(1+r)
上述公式是一個等比數列的和，其首項為PMT，公比為(1+r)，項數為n。利用等比數列求和公式，可以將其化簡為：
FV=PMT×(((1+r)^n)-1)÷r
年金現值公式推導
年金現值是指將未來一段時間內的一系列現金流折算成當前時點的價值。
年金現值公式可以由年金終值公式推導出來。假設現在的時點為0，未來的n個時點分別為1，2，...，n。年金終值FV是在n時點上的價值，而年金現值PV是在0時點上的價值。
根據復利公式，n時點上的1元錢在0時點上的價值為(1+r)^(-n)。因此，n時點上的PMT元錢在0時點上的價值為PMT×(1+r)^(-n)。同理，n-1時點上的PMT元錢在0時點上的價值為PMT×(1+r)^(-(n-1))，以此類推。
因此，年金現值PV為：
PV=PMT×(1+r)^(-n)+PMT×(1+r)^(-(n-1))+...+PMT×(1+r)^(-1)
上述公式同樣是一個等比數列的和，其首項為PMT×(1+r)(-1)，項數為n。但注意到這里的等比數列是遞減的，所以求和時需要稍作調整。將其化簡后得到：
PV=PMT×((1-(1+r)^(-n))÷r)
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